第七章 定积分

Riemann 可积 (可用 \(\varepsilon-\delta\) 语言表达)

Darboux 和: Darboux 大和 \(\bar{S}(P)\), Darboux 小和 \( \underline{S}(P) \).

添加新划分, 大和不增, 小和不减 => \( m(b-a) \leq \underline{S}(P_2) \leq \bar{S}(P_1) \leq M(b-a) \)

Darboux 定理(大和小和极限均存在且等于各自下确界与上确界)

Riemann 可积的充要条件

推论:闭区间上连续函数,只有有限个间断点的有界函数,Riemann 函数,均可积

• 线性性；乘积可积性；保序性；
• 绝对可积性: \( |\int_{a}^{b}{f(x)\mathrm{d}x}| \leq \int_a^b{|f(x)|\mathrm{d}x} \); 区间可加性;
• 积分第一中值定理: \( f(x), g(x) \) 可积, \(g(x\) 在 \([a,b]\) 上不变号, m, M 为 \(f(x)\) 上下界. 则 \( \exists \eta \in [m,M] \) 满足: \[ \int_a^b{f(x)g(x)\mathrm{d}x}=\eta\int_{a}^b{g(x)\mathrm{d}x}. \] 特别地, 当 \( g(x)=1 \)时, 有: \[ \int_{a}^b{f(x)\mathrm{d}x}=\eta(a-b) \]

微分与积分的联系:

微积分基本定理-–—Newton-Leibniz 公式(前提:f(x)在[a,b]上连续):

定积分的分部积分法与换元积分法(注意换元改变积分上下限)

Newton-Leibniz 公式失效-–—“原函数”在区间中存在未定义点-–—利用区间可加性;

奇函数与偶函数在对称区间的积分

弧长 \(l\), 光滑曲线 ( \( x'(t), y'(t) \) 在 \([T_1, T_2]\) 上连续且不同时为零 )

光滑曲线上切线连续变动且可求长(有弧长不代表一定为光滑曲线)

求某些特殊几何体体积

• 求旋转曲面的面积
  • \[S=2\pi\int_{T_1}^{T_2}{y(t)\sqrt{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}\mathrm{d}t}=2\pi \int_{T_1}^{T_2}{y(t)\mathrm{d}l} \]
  • 取 \(x(t)=t \), 有 \[ S=\int_a^b{|f(x) \sqrt{1+[f'(x)]^2} \mathrm{d}x |} .\]
  • 在极坐标中, 有 \[ S=2\pi \int_{\alpha}^{\beta}{r(\theta)\sin{\theta}\sqrt{r^2(\theta)+[r'(\theta)^2]}\mathrm{d}\theta} \]
• 曲率